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教辅:高考数学二轮复习考点-直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线
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考点十五 直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线一、选择题1.若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则m的值是()A.1B.-2C.1或-2D.-答案 A解析 ①当m=-1时,两直线分别
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考点十五 直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线
一、选择题
1.若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则m的值是()
A.1
B.-2
C.1或-2
D.-
答案 A
解析 ①当m=-1时,两直线分别为x-2=0和x-2y-4=0,此时两直线相交,不符合题意.②当m≠-1时,两直线的斜率都存在,由两直线平行可得解得m=1,故选A.2.(2024·广州综合测试)若直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0有公共点,则实数k的取值范围是()
A.[-3,+∞)
B.(-∞,-3]
C.(0,+∞)
D.(-∞,+∞)
答案 D
解析 圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心为(-1,2),半径为2,由题意可知圆心到直线kx-y+1=0的距离d=≤2,化简,得32+≥0,故k∈(-∞,+∞).故选D.3.(2024·山东菏泽高三联考)已知双曲线-=1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为,则实数a的值为()
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 B
解析 由题意,得该双曲线的一条渐近线的斜率为=,则=,解得a=4.故选B.4.(2024·山东泰安四模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,OF为菱形OBFC的一条对角线,另一条对角线BC的长为2,且点B,C在抛物线E上,则p=()
A.1
B.
C.2
D.2
答案 B
解析 由题意,得在抛物线上,代入抛物线的方程可得1=,∵p>0,∴p=,故选B.5.(2024·衡中高三质量检测一)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()
A.m>n且e1e2>1
B.m>n且e1e2<1
C.m
D.m 答案 A 解析 由于椭圆C1与双曲线C2的焦点重合,则m2-1=n2+1,则m2-n2=2>0,∵m>1,n>0,∴m>n.∵e1==,e2==,∴e1e2====>1,故选A.6.(2024·北京高考)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线() A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 答案 B 解析 如图所示,因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线的定义可知|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.7.(多选)(2024·新高考卷Ⅰ)已知曲线C:mx2+ny2=1,() A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆,其半径为 C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± x D.若m=0,n>0,则C是两条直线 答案 ACD 解析 对于A,若m>n>0,则mx2+ny2=1可化为+=1,因为m>n>0,所以<,即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;对于C,若mn<0,则mx2+ny2=1可化为+=1,此时曲线C表示双曲线,由mx2+ny2=0可得y=± x,故C正确;对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,y=±,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确.故选ACD.8.(多选)(2024·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆的内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是() A.|QF1|+|QP|的最小值为2-1 B.椭圆C的短轴长可能为2 C.椭圆C的离心率的取值范围为 D.若=,则椭圆C的长轴长为+ 答案 ACD 解析 因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2-|QF2|+|QP|≥2-|PF2|=2-1,当Q,F2,P三点共线时,取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,所以椭圆C的方程为+=1,又+>1,则点P在椭圆外,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,又a-b=1,所以b=a-1,所以+<1,即a2-3a+1>0,解得a>==,所以>,所以e=<,所以椭圆C的离心率的取值范围为,故C正确;若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),所以+=1,又a-b=1,所以+=1(a>1),即a2-11a+9=0(a>1),解得a===,所以=,所以椭圆C的长轴长为+,故D正确.故选ACD.二、填空题 9.(2024·山东省实验中学高三6月模拟)以抛物线y2=2x的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________. 答案 2+y2=1 解析 抛物线y2=2x的焦点为,准线方程为x=-,焦点到准线的距离为1,所以圆的圆心为,半径为1,故圆的标准方程为2+y2=1.10.(2024·北京高考)已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为________;C的焦点到其渐近线的距离是________. 答案(3,0) 解析 在双曲线C中,a=,b=,则c==3,则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0).双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为=.11.(2024·河南开封高三3月模拟)已知F1,F2是椭圆E:+=1的左、右焦点,点M在E上,且∠F1MF2=,则△F1MF2的面积为________. 答案 3 解析 由题意,设|MF1|=m,|MF2|=n,则m+n=2a,由余弦定理可得,4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-mn=4a2-mn,又c2=a2-3,∴mn=12,∴△F1MF2的面积S=mnsin=3.12.(2024·株洲第二中学4月模拟)如图,点F是抛物线C:x2=4y的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且AB总是平行于y轴,则△AFB周长的取值范围是________. 答案(4,6) 解析 ∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,圆x2+(y-1)2=4的圆心F(0,1),半径R=2,∴|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB-yA,∴△AFB的周长为|FB|+|AF|+|AB|=2+yA+1+yB-yA=3+yB,∵1 三、解答题 13.过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程; (2)延长OA到N,使|OA|=|AN|,求点N的轨迹方程. 解(1)设M的坐标为(x,y),则A(2x,2y),因为点A在圆x2+y2-8x=0上,所以(2x)2+(2y)2-16x=0,即x2+y2-4x=0.又点O与A不重合,所以x≠0.因此,点M的轨迹方程为x2+y2-4x=0(x≠0). (2)设N(x,y),∵|OA|=|AN|,∴A为线段ON的中点,∴A,又A在圆x2+y2-8x=0上,∴2+2-4x=0,即x2+y2-16x=0.又点O与A不重合,所以x≠0.因此,点N的轨迹方程为x2+y2-16x=0(x≠0). 14.(2024·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率; (2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程. 解(1)因为椭圆C1的右焦点为F(c,0),所以抛物线C2的方程为y2=4cx,其中c=.不妨设A,C在第一象限,因为椭圆C1的方程为+=1,所以当x=c时,有+=1⇒y=±,因此A,B的纵坐标分别为,-.又因为抛物线C2的方程为y2=4cx,所以当x=c时,有y2=4c·c⇒y=±2c,所以C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|,得4c=,即3·=2-22,解得=-2(舍去),=.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a=2c,b=c,故椭圆C1:+=1,所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0,c),(0,-c),C2的准线方程为x=-c.由已知,得3c+c+c+c=12,解得c=2.所以a=4,b=2,所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=8x.一、选择题 1.(2024·山东济南二模)已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P在抛物线上且横坐标为4,则|PF|=() A.2 B.3 C.5 D.6 答案 C 解析 将x=4代入抛物线方程得P(4,4),根据抛物线定义得|PF|=4+=4+1=5.故选C.2.(2024·湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为() A.r+R B.r+R C.r+R D.r+R 答案 A 解析 椭圆的离心率e=∈(0,1)(c为半焦距,a为长半轴长),设该卫星远地点离地面的距离为n,如图: 则n=a+c-R,r=a-c-R,所以a=,c=,所以n=a+c-R=+-R=r+R.故选A.3.(2024·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.7 答案 A 解析 设圆心为C(x,y),则=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,如图.所以|OC|+1≥|OM|==5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当C在线段OM上时取得等号,故选A.4.(2024·山东潍坊高密二模)已知双曲线-=1的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线的离心率为() A.B. C. D.2 答案 A 解析 双曲线-=1的一条渐近线的倾斜角为,tan=,所以该条渐近线方程为y=x,所以=,解得a=,所以c===2,所以双曲线的离心率为e===.故选A.5.(2024·山西太原五中3月模拟)若过椭圆+=1内一点P(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为() A.8x+9y-25=0 B.3x-4y-5=0 C.4x+3y-15=0 D.4x-3y-9=0 答案 A 解析 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,P为AB的中点,因为A,B在椭圆上,所以+=1,+=1,两式相减,得+=0,因为x1+x2=4,y1+y2=2,可得=-,则所求直线的斜率k=-,因为该直线过点P(2,1),所以所求直线的方程为y-1=-(x-2),整理,得8x+9y-25=0.故选A.6.(2024·山东淄博二模)当α∈时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的轨迹不可能是() A.两条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案 B 解析 当α∈时,0 A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为y=±x C.动点P到两条渐近线的距离之积为定值 D.当动点P在双曲线C的左支上时,的最大值为 答案 AC 解析 对于双曲线C:x2-=1,a=1,b=,c=2,所以双曲线C的离心率为e==2,渐近线方程为y=±x,A正确,B错误;设点P的坐标为(x0,y0),则x-=1,双曲线C的两条渐近线方程分别为x-y=0和x+y=0,则点P到两条渐近线的距离之积为·==,C正确;当动点P在双曲线C的左支上时,|PF1|≥c-a=1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2,===≤=,当且仅当|PF1|=2时,等号成立,所以的最大值为,D错误.故选AC.8.(多选)(2024·山东威海三模)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则() A.抛物线的准线方程为x=-1 B.++=0,则||,||,||成等差数列 C.若A,F,C三点共线,则y1y2=-1 D.若|AC|=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案 ABD 解析 把点B(1,2)代入抛物线y2=2px,得p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,故A正确;因为A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(0,2),=(x2-1,y2),又由++=0,得x1+x2=2,所以||+||=x1+1+x2+1=4=2||,即||,||,||成等差数列,故B正确;因为A,F,C三点共线,所以直线斜率kAF=kCF,即=,所以=,化简得y1y2=-4,故C不正确;设AC的中点为M(x0,y0),因为|AF|+|CF|≥|AC|,|AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2,所以2x0+2≥6,得x0≥2,即AC的中点到y轴距离的最小值为2,故D正确.故选ABD.二、填空题 9.(2024·深圳调研二)已知椭圆C:+=1的右焦点为F,O为坐标原点,C上有且只有一个点P满足|OF|=|FP|,则C的方程为________. 答案 +=1 解析 根据对称性知P在x轴上,因为|OF|=|FP|,故a=2c,又a2=3+c2,所以a=2,c=1,故椭圆C的方程为+=1.10.(2024·浙江高考)设直线l:y=kx+b(k>0),圆C1:x2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=1,若直线l与C1,C2都相切,则k=________,b=________.答案 - 解析 由题意,两圆圆心C1(0,0),C2(4,0)到直线l的距离等于半径,即=1,=1,所以|b|=|4k+b|,所以k=0(舍去)或b=-2k,解得k=,b=-.11.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.答案 1+ 解析 由题意可知D是抛物线y2=2ax(a>0)的焦点,且D,又正方形DEFG的边长为b,所以F,因为F在抛物线上,所以b2=2a,即b2-2ab-a2=0,所以2--1=0,解得=1+或1-,因为0 解析 如图所示,设PnFn1,PnFn2与圆Gn分别切于点Bn,Cn.根据内切圆的性质可得,|PnBn|=|PnCn|,|BnFn1|=|AnFn1|,|AnFn2|=|CnFn2|,又点Pn是双曲线En右支上一动点,∴|PnFn1|-|Fn2Pn|==,∴|AnFn1|-|AnFn2|=.∴an+cn-(cn-an)=.∴an=.∴a1+a2+…+a2020==.三、解答题 13.(2024·山东济南二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A,B,|AB|=2,过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2.(1)求椭圆C的方程; (2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A,B重合),直线AM与y轴交于点P,直线BM与x轴交于点Q,证明:|AQ|·|BP|为定值. 解(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:A(-4,0),B(0,-2),设M(x0,y0),P(0,yP),Q(xQ,0),因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以x+4y=16,由A,P,M三点共线,得=,即yP=,同理可得xQ=.所以|AQ|·|BP|=|xQ+4|·|yP+2| =|·| =||=16.所以|AQ|·|BP|为定值16.14.(2024·福建高三毕业班质量检测)已知定点F(0,1),P为x轴上方的动点,线段PF的中点为M,点P,M在x轴上的射影分别为A,B,PB是∠APF的平分线,动点P的轨迹为E.(1)求E的方程; (2)设E上点Q满足PQ⊥PB,Q在x轴上的射影为C,求|AC|的最小值. 解 解法一:(1)设坐标原点为O,因为PA∥BM,所以∠APB=∠PBM,因为PB是∠APF的平分线,所以∠APB=∠MPB,所以∠MPB=∠PBM,所以|BM|=|PM|,因为M为线段PF的中点,|BM|=,所以2|BM|=|PA|+1,因为|PF|=2|PM|=2|BM|,所以|PF|=|PA|+1,因为P为x轴上方的动点,所以点P到点F的距离等于点P到直线y=-1的距离,所以动点P的轨迹E是顶点在原点,焦点为F(0,1)的抛物线(原点除外),设E的方程为x2=2py(p>0,x≠0),则=1,所以p=2,所以E的方程为x2=4y(x≠0). (2)设点P,Q,所以点B,=,=,所以·=-(x2-x1)-=-·(x2-x1)[8+x1(x2+x1)]=0,因为x2≠x1,且x1≠0,所以8+x1(x2+x1)=0,所以x2=--x1,所以|AC|=|x1-x2|=|2x1+|=|2x1|+|| ≥2=8,当且仅当x1=±2时,等号成立,所以|AC|的最小值为8.解法二:(1)设点P(x0,y0),y0>0,x0≠0,所以点B,所以|AB|=,因为PB是∠APF的平分线,所以点B到直线PF的距离d=|AB|,因为直线PF的方程为y-1=x,整理,得(y0-1)x-x0y+x0=0,所以d=,所以=,整理,得x=4y0(x0≠0),所以动点P的轨迹E的方程为x2=4y(x≠0). (2)设点P,Q,所以点B,所以kPB==,因为PQ⊥PB,所以直线PQ的方程为y-=-(x-x1),即y=-x+2+,代入E的方程得x2+x-8-x=0,所以x1x2=-8-x,即x2=--x1,所以|AC|=|x1-x2|=|2x1+|=|2x1|+|| ≥2 =8,当且仅当x1=±2时,等号成立,所以|AC|的最小值为8.
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